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高考数学大一轮复* 第十章 计数原理 10.2 排列与组合学案 理 北师大版

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§10.2 排列与组合 最新考纲 考情考向分析 1.理解排列的概念及排列数公式,并能利用 公式解决一些简单的实际问题. 2.理解组合的概念及组合数公式,并能利用 公式解决一些简单的实际问题. 以理解和应用排列、组合的概念为主,常常 以实际问题为载体,考查分类讨论思想,考 查分析、解决问题的能力,题型以选择、填 空为主,难度为中档. 1.排列与组合的概念 名称 排列 组合 定义 从 n 个不同元素中取出 按照一定顺序排成一列 m(m≤n)个元素 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 Amn表示. (2)组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫作从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 Cmn表示. 3.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=?n-n!m?!; (2)Cmn=AAmmmn=n?n-1??n-m2!?…?n-m+1?=m!?nn! -m?! 性质 (3)0!=1;Ann=n!; (4)Cmn=Cnn-m;Cmn+1=Cmn+Cmn-1 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ ) (4)(n+1)!-n!=n·n!.( √ ) (5)若组合式 Cxn=Cmn,则 x=m 成立.( × ) (6)kCkn=nCkn--11.( √ ) 题组二 教材改编 2.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 答案 D 解析 “插空法”,先排 3 个空位,形成 4 个空隙供 3 人选择就座,因此任何两人不相邻的 坐法种数为 A34=4×3×2=24. 3.用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为( ) A.8 B.24 C.48 D.120 答案 C 解析 末位数字排法有 A12种,其他位置排法有 A34种, 共有 A12A34=48(种)排法,所以偶数的个数为 48. 题组三 易错自纠 4.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 答案 B 解析 第一类:甲在左端,有 A55=5×4×3×2×1=120(种)排法; 第二类:乙在最左端,甲不在最右端,有 4A44=4×4×3×2×1=96(种)排法. 所以共有 120+96=216(种)排法. 5.为发展国外孔子学院,教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若 每个国家至少去一人,则不同的选派方案种数为( ) A.180 B.240 C.540 D.630 答案 C 解析 依题意,选派方案分为三类:①一个国家派 4 名,另两个国家各派 1 名,有C46AC2212C11·A33 =90(种);②一个国家派 3 名,一个国家派 2 名,一个国家派 1 名,有 C36C23C11A33=360(种); ③每个国家各派 2 名,有C26CA2433C22·A33=90(种), 故不同的选派方案种数为 90+360+90=540. 6.寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排 A,B,C,D, E 五个座位(一排共五个座位),上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己 车票相符座位的坐法有______种.(用数字作答) 答案 45 解析 设 5 名同学也用 A,B,C,D,E 来表示,若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法,设 E 同学坐在自己的座位上,则其他四位都不坐自己的座位,则有 BADC,BDAC,BCDA,CADB, CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共 9 种坐法,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法 有 9×5=45(种). 题型一 排列问题 1.用 1,2,3,4,5,6 组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数 1,3,5 有且只有两个相邻, 则不同的排法种数为( ) A.18 B.108 C.216 D.432 答案 D 解析 根据题意,分三步进行:第一步,先将 1,3,5 分成两组,共 C23A22种排法;第二步,将 2,4,6 排成一排,共 A33种排法;第三步,将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位,共 A24种 排法.综上,共有 C23A22A33A24=3×2×6×12=432(种)排法,故选 D. 2.将 7 个人(其中包括甲、乙、丙、丁 4 人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾, 丙、丁两人必须相邻,则不同的排法共有( ) A.1 108 种 B.1 008 种 C.960 种 D.504 种 答案 B 解析 将丙、丁两人进行捆绑,看成一人.将 6 人全排列有 A22A66种排法;将甲排在排头,有 A22A55种排法;乙排在排尾,有 A22A55种排法;甲排在排头,乙排在排尾,有 A22A44种排法.则甲 不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻的不同排法共有 A22A66-A22A55-A22A55+A22A44=1 008(种). 3.某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了 ________条毕业留言.(用数字作答) 答案 1 560 解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数,所以 全班共写了 A240=40×3



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