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(课标通用版)2020版高考数学大一轮复*第九章*面解析几何规范答题示范(五)解析几何课件文

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第九章 *面解析几何
规范答题示范(五) 解析几何

类型一 定点、定值问题

(12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:x22+y2=1

上,过点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足N→P=

→ 2NM.

(1)求点P的轨迹方程;?

(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且O→P·P→Q=1,证明:

过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.?

[建桥寻突破] ?看到求点 P 的轨迹方程,想到先设出点的坐标,然后利用已 知条件,采用代入法求轨迹方程. ?看到过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F,想到证 明O→Q⊥P→F.

[规范解答] (1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0), N→P=(x-x0,y),N→M=(0,y0), 由N→P= 2N→M, 得 x0=x,y0= 22y, 因为 M(x0,y0)在椭圆 C 上, 所以x22+y22=1, 因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.

1 分 得分点①
3 分 得分点② 5 分 得分点③ 6 分 得分点④

(2)由题意知 F(-1,0),

设 Q(-3,t),P(m,n),

则O→Q=(-3,t),

P→F=(-1-m,-n),

7 分 得分点⑤

O→Q·P→F=3+3m-tn,

8 分 得分点⑥

O→P=(m,n),P→Q=(-3-m,t-n),

9 分 得分点⑦

由O→P·P→Q=1 得-3m-m2+tn-n2=1, 10 分 得分点⑧

又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0. 所以O→Q·PF=0,即 OQ⊥PF, 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ, 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.

11 分 得分点⑨ 12 分 得分点⑩

[评分标准] ①设出点的坐标,并求出N→P和N→M得 1 分; ②由N→P= 2N→M,正确求出 x0=x,y0= 22y 得 2 分; ③代入法求出x22+y22=1 得 2 分; ④化简成 x2+y2=2 得 1 分; ⑤求出O→Q和P→F得 1 分;

⑥正确求出O→Q·P→F的值得 1 分; ⑦正确求出O→P和P→Q的坐标得 1 分; ⑧由O→P·P→Q=1 得出-3m-m2+tn-n2=1 得 1 分; ⑨得出O→Q⊥P→F 得 1 分; ⑩写出结论得 1 分.

[解题点津] (1)得分步骤:对于解题过程中是得分点的步骤,有则给分,无 则没分,所以对于得分点步骤一定要写全,如第(2)问中求出- 3m-m2+tn-n2=1 就得分. (2)得分关键:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分, 所以在答题时一定要写清得分关键点,如第(2)问一定要写出 O→Q·P→F=0,即O→Q⊥P→F,否则不得分,因此步骤才是关键的, 只有结果不得分.

[核心素养] 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点问题,常与向 量巧妙交汇,综合考查考生“数学运算”的核心素养.

类型二 最值、范围问题 (12 分)设圆 x2+y2+2x-15=0 的圆心为 A,直线 l 过点
B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过点 B 作 AC 的*行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|+|EB|为定值?,并写出点 E 的轨迹方程; (2)设点 E 的轨迹方程为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点, 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求 四边形MPNQ面积的取值范围.?

[建桥寻突破] ?看到|EA|+|EB|为定值,想到点 E 的轨迹方程可能是椭圆. ?看到四边形 MPNQ 面积的取值范围,想到四边形 MPNQ 对 角线是否垂直,如何将四边形分别分成三角形求面积,可能利 用弦长公式.

[规范解答] (1)圆 A 整理为(x+1)2+y2=16,点 A 坐标为(-1,0),如图,

因为 BE∥AC,则∠ACB=∠EBD, 由|AC|=|AD|,则∠ADC=∠ACD,

2 分 得分点①

所以∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|, 所以|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4. 4 分 得分点② 所以 E 的轨迹为一个椭圆,方程为x42+y32=1(y≠0).
6 分 得分点③

(2)C1:x42+y32=1;设 l:x=my+1, 因为 PQ⊥l,设 PQ:y=-m(x-1),联立 l 与椭圆 C1, ??x=my+1, ???x42+y32=1, 得(3m2+4)y2+6my-9=0;
7 分 得分点④

则|MN|= 1+m2|yM-yN| = 1+m2 36m2+33m62(+34m2+4)=12(3mm22++41);
8 分 得分点⑤ 圆心 A 到 PQ 距离 d=|-m(1-+1m-2 1)|= 1|2+mm| 2,
9 分 得分点⑥

所以|PQ|=2 |AQ|2-d2=2 16-14+mm2 2=4 13+m2m+24,

10 分 得分点⑦

所以 S 四边形 MPNQ=12|MN|·|PQ|=12·12(3mm22++41)·4 13+m2m+24=

243mm22++41=24

3+m121+1∈[12,8 3).

12 分 得分点⑧

[评分标准] ①得出∠ACB=∠EBD,∠ADC=∠ACD 得 2 分; ②得出|AE|+|EB|=4 得 2 分; ③写出 E 的轨迹为一个椭圆,得 1 分;写出椭圆方程x42+y32= 1(y≠0)再得 1 分; ④联立方程组得出(3m2+4)y2+6my-9=0 得 1 分;

⑤正确计算出弦长|MN|得 1 分,错误不得分; ⑥正确计算出圆心 A 到 PQ 距离 d 得 1 分; ⑦正确求出|PQ|得 1 分,错误不得分; ⑧正确计算出四边形 MPNQ 面积的取值范围得 2 分.

[解题点津] (1)第(1)小题先将圆 x2+y2+2x-15=0 化为标准方程,然后画 出图形,结合图形中的线线关系及椭圆的定义确定轨迹方程. (2)第(2)小题联立直线方程与椭圆方程,将其化成关于 x 或 y 的 一元二次方程. (3)要求四边形 MPNQ 面积的取值范围,由 S 四边形 MPNQ= 12|MN|·|PQ|,可先利用点到直线的距离公式及勾股定理求出 |PQ|,再利用弦长公式求出|MN|.

[核心素养] 圆锥曲线中的面积问题是高考命题的热点问题,一般涉及三角 形及四边形的面积值(取值范围)问题.主要考查考生“直观想 象”和“数学运算”的核心素养.




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